第1章数据存储 · 计算机科学概论

本章导览 · LEARNING MAP

三条主线：位如何存、信息如何编码、数据如何可靠

主线	对应章节	核心问题
位的存储	1.1 – 1.3	布尔运算、触发器、主存与海量存储——硬件如何记住 0 和 1？
位的表示	1.4 – 1.7	文本、数值、图像、声音如何编码为位模式？
数据的应用	1.8 – 1.10	压缩与差错控制如何让数据够用、可靠？

课堂练习：每节 2 题单选（共 20 题），点击选项即刻判分并显示解析；全部答案汇总于页面末尾「参考答案」。

总进度已完成 0 / 20 ｜答对 0

1.1

1.1 位和位存储 · BITS AND BIT STORAGE

位：一切信息的最小符号

本节小结 位（bit，binary digit）是取值 0 或 1 的符号，所有信息都以位模式（bit pattern）编码。布尔运算 AND / OR / XOR / NOT 处理真/假值；门（gate）是实现布尔运算的设备，触发器（flip-flop）是由门构成、能存 1 个位的电路；十六进制记数法用一个符号代替 4 个位，是给人看的二进制简写。

四种布尔运算

假设 0 表示假（false）、1 表示真（true）。为纪念逻辑数学先驱乔治·布尔（George Boole，1815—1864），处理真/假值的运算称为布尔运算。AND 仅当两输入都为 1 才输出 1；OR 至少一个为 1 即输出 1；XOR 在两输入不同时输出 1；NOT 只有一个输入，输出与输入相反。

P	Q	P AND Q	P OR Q	P XOR Q
0	0	0	0	0
0	1	0	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	1	0

十六进制：一个符号 = 4 个位

长位串难以抄录，十六进制记数法（hexadecimal notation）用 0~9、A~F 共 16 个符号各表示 4 个位，本书用前缀“0x”标记：

1011 0101 → 0xB5　　1010 0100 1100 1000 → 0xA4C8

动手试一试：二进制 ↔ 十六进制 / 十进制转换器

十六进制 0xB5 ｜十进制 181

提示：从右往左每 4 位分一段，逐段查表替换即得十六进制。

乔治·布尔（1815—1864），逻辑数学先驱，布尔运算因他得名（Science Photo Library）

今天的“门”主要由晶体管制造（Shutterstock）

位的含义取决于应用：同一串 01000001，按 ASCII 是字符 'A'，按二进制数值是 65。

§1.1课堂练习

Q1下列关于 XOR（异或）运算的描述，正确的是？

A两个输入都为 1 时输出 1

B两个输入不同时输出 1

C至少一个输入为 1 时输出 1

D只有一个输入，输出与输入相反

XOR 意为“或者是 P，或者是 Q，但不会两个共存”——两输入不同时输出 1。A 是 AND，C 是 OR，D 是 NOT。

Q2位模式 0100 1000 用十六进制记数法表示为？

A0x44

B0x84

C0x48

D0x24

分段 0100 | 1000，0100→4，1000→8，故为 0x48。

1.2

1.2 主存储器 · MAIN MEMORY

可编址的字节单元，支持随机存取

本节小结主存储器由可编址的存储单元（cell）组成，典型单元存 8 位 = 1 字节（byte）；每个单元有唯一数值地址（address），从 0 开始编号，可按地址读（read）/写（write）。因为能以任意顺序访问任一单元，主存又称随机存取存储器（RAM）；现代 RAM 多为动态存储器（DRAM），靠刷新电路每秒多次补充微小电荷。容量以 KB / MB / GB / TB 度量（千、兆在计算机语境中表示 2 的幂）。

字节型存储单元的组织（点击翻转每一位）

01000001

高位端 MSB（最高有效位）低位端 LSB（最低有效位）

当前字节按二进制解释为：65（也可读作 ASCII 字符 'A'）。

三个关键术语

RAM（Random Access Memory，随机存取存储器）：由独立、可编址的单元组成，可按任意顺序访问——与海量存储“按块读写”形成对比。

DRAM（Dynamic RAM，动态存储器）：把位存储为微小而快速消散的电荷，需要刷新电路反复补充，因此具有易失性。

SDRAM（Synchronous DRAM，同步动态存储器）：采用附加同步技术，缩短从存储单元中取数的时间。

容量度量

单位	习惯含义
KB 千字节	1024 B（2¹⁰）
MB 兆字节	1024 KB
GB 吉字节	1024 MB
TB 太字节	1024 GB

“千、兆”本是 1000 的幂；国际标准另立 kibi- / mebi- / gibi- / tebi- 专指 1024 的幂，但习惯用法仍流行——阅读时注意语境。

“单元 + 地址 + 随机存取”——理解一切内存操作的三要素。

§1.2课堂练习

Q3计算机的主存储器常被称为 RAM，其“随机存取”的含义是？

A存储单元的地址是随机分配的

B可以按任意顺序独立访问各个存储单元

C存入的数据会随机丢失

D只能随机读取，不能写入

主存由独立、可编址的单元组成，用任何顺序访问任一单元的能力，正是“随机存取”的含义。

Q4一台带 4 KB 存储器的计算机，其存储器里有多少个二进制位？

A4 × 1024 × 8 = 32 768 位

B4 × 1000 × 8 = 32 000 位

C4 × 1024 = 4 096 位

D4 × 8 = 32 位

KB 按 1024 字节计，每字节 8 位：4 × 1024 = 4 096 个单元，4 096 × 8 = 32 768 位。

1.3

1.3 海量存储器 · MASS STORAGE

用更大的容量与持久性，换更慢的速度

本节小结为弥补主存的易失性与容量限制，计算机配备海量存储（mass storage，二级存储）：磁盘（HDD）在旋转盘片的磁介质上按磁道/扇区记录；光盘（CD/DVD/BD）以反射层偏差记录，螺旋磁道由内向外；闪存（flash memory）与固态驱动器（SSD）用二氧化硅晶格截获电子，无运动部件；磁带低成本、线性读写，适合归档备份。衡量磁盘性能的指标：寻道时间、旋转延迟、存取时间、传输速率（以及通用的带宽与等待时间）。

四类系统对比

系统	记录原理	特点
磁盘 HDD	磁介质涂层	机械旋转 + 磁头移动，毫秒级；TB 级联机大容量
光盘 CD/DVD/BD	反射层偏差，激光检测	螺旋磁道，长于连续读取；多层 BD 可达 100 GB
闪存 / SSD	晶格截获电子	全电子、防震抗摔；反复擦写会损耗，SSD 以耗损均衡缓解
磁带	塑料带磁涂层	等待时间极长，但低成本、大容量，适合线性读写的归档备份

数量级对比：主存的工作以纳秒（10⁻⁹ 秒）计，机械存储系统的寻道与等待以毫秒（10⁻³ 秒）计——相差约百万倍。

多盘片系统的读/写磁头组，所有磁头一起移动——同位磁道构成柱面（EXALAB）

光盘的信息记录在一条由内向外的螺旋磁道上（Alamy）

固态驱动器（SSD）无运动部件，正在取代便携设备中的磁硬盘（Shutterstock）

早期计算机的磁带机；磁带至今仍是低成本归档的选择（University of Auckland）

存取时间 = 寻道时间 + 旋转延迟——磁盘的一切优化，本质上都是与机械运动作斗争。

§1.3课堂练习

Q5磁盘系统的“存取时间（access time）”是指？

A盘片旋转一周所需的时间

B数据传入或传出磁盘的速率

C磁头从一个磁道移到另一个磁道的时间

D寻道时间与旋转延迟之和

教材定义的四项指标：寻道时间、旋转延迟（约等于盘片转半周）、存取时间 = 前两者之和、传输速率。

Q6相对于磁系统与光系统，闪存驱动器的主要优势是？

A容量永远更大

B可以无限次擦写

C没有运动部件，防震抗摔、存取更快

D适合真正的长期存档

闪存全电子化，不怕物理震动，但反复擦除会损坏晶格（寿命有限），也不如光盘适合长期存档。

1.4

1.4 用位模式表示信息 · REPRESENTING INFORMATION

文本、数值、图像、声音，如何变成 0 和 1？

本节小结文本：ASCII 用 7（后扩展为 8）位模式表示每个符号；Unicode 为每个符号规定唯一的 21 位模式，配合 UTF-8 可兼容 ASCII 并容纳世界各语言。数值：二进制记数法远比逐字符编码高效（16 位可表示 0~65 535）。图像：位图按像素（pixel）编码，彩色常用 RGB（每像素 3 字节）；几何结构表示（TrueType、CAD）可自由缩放。声音：按固定间隔采样振幅（CD 音质 44 100 次/秒、每次 16 位）；MIDI 编码演奏指令而非声音本身。

例：“Hello.” 的 ASCII / UTF-8 编码

H　　　e　　　l　　　l　　　o　　　.
01001000 01100101 01101100 01101100 01101111 00101110

图像：位图 vs 几何结构

位图把图像看作像素网格：黑白每像素 1 位、灰度 8 位、彩色 RGB 共 3 字节；缺点是放大即模糊（“数字变焦”）。几何表示用直线与曲线描述形状，字体（TrueType / PostScript）和 CAD 因此能任意缩放而保持清晰。

声音：采样序列还原波形（动画演示）

教材图 1-12 示例：采样序列 0、1.5、2.0、1.5、2.0、3.0、4.0、3.0、0 —— 逐点绘制后连成波形。

显示屏的像素阵列特写——位图图像正是逐像素编码（Shutterstock）

麦克风把声波转为电信号，示波器上呈现波形；采样即按固定间隔记录振幅（Science Photo Library）

MIDI 对比：单簧管演奏 D 音符 2 秒，MIDI 编码仅需 3 字节；按 44 100 次/秒采样则需两百多万个二进制位。

编码是一种“约定”：同一串位，按文本、数值、图像或声音的约定解释，得到完全不同的信息。

§1.4课堂练习

Q7若每个字符用 1 字节 ASCII 编码，3 字节最多能表示的数值是多少？若改用二进制记数法呢？

A999 与 16 777 215

B99 与 65 535

C999 与 65 535

D255 与 16 777 215

逐字符存 3 位十进制数字最大为 999；24 位二进制可表示 0 ~ 2²⁴−1 = 16 777 215——这正是二进制记数法的效率优势。

Q8关于 MIDI（乐器数字化接口），下列说法正确的是？

A按每秒 44 100 次对声波采样

B编码的是音乐本身，任何设备播放效果相同

C是一种图像压缩标准

D编码“什么乐器演奏什么音符、持续多久”的指令，类似记录乐谱

MIDI 编码演奏指令而非声音本身，因此存储量极小，但同一份 MIDI 在不同合成器上播放的声音可能截然不同。

1.5

1.5 二进制系统 · THE BINARY SYSTEM

每一位的量值，是它右边的 2 倍

本节小结二进制记数法中，从右向左各位量值依次为 1、2、4、8……解码即求“数字为 1 的位置”的量值之和；求大数的二进制表示可用除 2 取余算法。二进制加法与十进制同法，只是“逢二进一”；基数小数点（radix point）右边的位依次表示 1/2、1/4、1/8……使二进制也能表示分数。

解码 100101 = 37

位	1	0	0	1	0	1
量值	32	16	8	4	2	1

32 + 4 + 1 = 37。带小数点的例子：101.101 = 4 + 1 + 1/2 + 1/8 = 5.625。

除 2 取余：13 → 1101

13 ÷ 2 = 6 … 余 1　　6 ÷ 2 = 3 … 余 0
3 ÷ 2 = 1 … 余 1　　1 ÷ 2 = 0 … 余 1
余数自下而上读 → 1101

动手试一试：十进制 → 二进制（含过程）

13÷2=6…1
6÷2=3…0
3÷2=1…1
1÷2=0…1
→ 1101

二进制加法法则：0+0=0，1+0=1，1+1=10，1+1+1=11。

记数法只是“外衣”：010+010=100、2+2=4、0x2+0x2=0x4，是同一个底层数量。

§1.5课堂练习

Q9二进制表示 1011 对应的十进制值是？

B11

C13

三个 1 分别在量值 8、2、1 的位置上：8 + 2 + 1 = 11。

Q10二进制加法 10.011 + 100.11 的结果是？

A110.101

B111.101

C111.001

D110.011

对齐基数小数点后逐列相加（逢二进一）：10.011 + 100.110 = 111.001。

1.6

1.6 整数的存储 · STORING INTEGERS

二进制补码：一套加法电路，同时解决减法

本节小结 二进制补码（two's complement）用固定位数表示整数：最左的符号位（sign bit）为 0 表示非负、1 表示负；4 位系统可表示 −8 ~ +7。求相反数：从右复制到第一个 1（含），其余位取反。加法和减法共用同一算法——7 − 5 = 7 + (−5)。固定位数带来溢出（overflow）：结果超出可表示范围（如 5 + 4 显示为 −7），可用符号位异常检测。余码记数法（excess notation）以“最高位为 1 的首个模式”表示 0，常用于浮点的指数域。

4 位补码系统一览

位模式	值	位模式	值
0111	+7（最大）	1111	−1
0100	+4	1100	−4
0001	+1	1001	−7
0000	0	1000	−8（最小）

减法即加法：7 − 5

0111（7）+ 1011（−5）= 10010
截去最高进位 → 0010 = 2 ✓

余 8 记数法对照：1000 表示 0，1101 表示 +5，0011 表示 −5——符号位与补码恰好相反。

溢出的真实代价

1989 年 9 月 19 日，一家医院多年来运行良好的计算机突然故障。原因：程序用 16 位补码记录距 1900 年 1 月 1 日的天数，那天恰好是第 32 768 天——超出 16 位补码最大正值 32 767，日期变成了负数。

启示：使用机器的人必须意识到“较小的值会累加成较大的值”。现今普遍使用 32 位补码（最大正值 2 147 483 647）。

小学生先学加法后学减法；用补码记数法的机器只需知道如何相加。

§1.6课堂练习

Q11在 4 位二进制补码系统中，位模式 1010 表示的十进制值是？

A10

B−2

D−6

符号位为 1 表示负值；对 1010 做“复制+取反”得 0110 = 6，故原模式表示 −6。

Q12用 4 位补码计算 5 + 4，结果及原因是？

A得 9，计算正确

B显示为 −7，因为发生溢出——9 超出 4 位补码的范围

C显示为 1，因为进位被截断

D显示为 −1，因为符号位出错

4 位补码最大正值为 7，无法表示 9；两个正值相加却得负值模式，正是溢出的标志。

1.7

1.7 分数的存储 · STORING FRACTIONS

浮点记数法：符号位 + 指数域 + 尾数域

本节小结 浮点记数法（floating-point notation）把字节分成符号位、指数域（exponent field，用余码存储）与尾数域（mantissa field，规范化形式从最左边的 1 开始填充）。教学用 8 位格式：1 位符号 + 3 位指数 + 4 位尾数。尾数域不够大会产生截断误差（truncation error）；1/10 这类无穷展开永远无法精确存储；多个值相加宜先小后大。实际系统：32 位单精度（约 7 位十进制有效数字）、64 位双精度（约 15 位）。

教学用 8 位格式

符号位指数域（3 位，余码）尾数域（4 位）

解码示例：01101011

步骤	操作
①	拆分：符号位 0 ｜指数 110 ｜尾数 1011
②	尾数左边放基数小数点 → .1011
③	指数 110 按余码解码为 +2 → 小数点右移 2 位 → 10.11
④	符号位 0 为非负值 → 10.11 = 2 + 3/4 = 2.75

截断误差的三副面孔

① 丢位：8 位格式存 2+5/8（10.101），最右边的 1 放不进尾数域，实际存下 2+1/2。

② 无穷展开：1/10 在二进制中无穷循环——以美元为单位时一角钱都存不准；改以“分”为单位即可用整数精确存储。

③ 顺序敏感：(2½ + ⅛) + ⅛ 两次截断仍得 2½（错）；2½ + (⅛ + ⅛) = 2¾（对）——先加小值。

浮点 = 科学记数法的二进制版：指数定大小，尾数定精度。

§1.7课堂练习

Q13按教材的 8 位浮点格式（1 位符号 + 3 位余码指数 + 4 位尾数），位模式 00111100 表示的值是？

A3/4

B1/2

C3/8

D3/16

符号位 0；指数 011 按余码 = −1；尾数 .1100 小数点左移 1 位得 .01100 = 1/4 + 1/8 = 3/8。

Q14一个粗心程序员用浮点数以“美元”为单位处理金额，最可能遇到什么麻烦？

A一角（0.1 美元）在二进制中是无穷展开，无法精确存储

B美元符号没有对应的 ASCII 码

C浮点数不能表示正数

D金额太大必然溢出

1/10 的二进制表示无穷循环，浮点只能存其近似值；教材建议的解法是以“分”为单位改用整数（如补码）精确存储。

1.8

1.8 数据与程序设计 · DATA AND PROGRAMMING

Python：在更高抽象层次上表达算法

本节小结人类很少直接在 0/1 层面工作，程序设计语言（programming language）让人能用更高层次的抽象向计算机精确表达算法。Python 由吉多·范罗苏姆于 20 世纪 80 年代末创立，强调可读性。它的变量类型正对应本章内容：布尔值（1.1）、字符串（1.4）、整数（1.6）、浮点数（1.7）；十六进制 0xFF 只是书写捷径，print 仍输出十进制 255。

例：货币换算脚本（教材 1.8 节）

# 国际货币换算
USD_to_GBP = 0.76　# 今日汇率
GBP_sign = '£'
dollars = 1000　# 待兑换美元
pounds = dollars * USD_to_GBP
print('Today, $' + str(dollars))
print('converts to ' + GBP_sign + str(pounds))

运行输出：Today, $1000
converts to £760.0

变量类型 ↔ 本章表示

my_Boolean = True
　→ 真/假值（1.1 节）
my_string = 'characters'
　→ 文本（1.4 节）
my_integer = 5
　→ 整数（1.6 节）
my_floating_point = 26.2
　→ 浮点数（1.7 节）

有人已把程序设计（编码）视为现代读写能力中继阅读、写作、算术之后的又一基础支柱。

本章的每一种数据表示，都是程序设计语言变量背后的实现。

§1.8课堂练习

Q15Python 中执行 print(0xFF)，输出结果是？

A0xFF

B255

CFF

D11111111

print() 默认按十进制输出；十六进制只是书写捷径，不改变内存中 0/1 的存储形式。

Q16教材在本章引入 Python 的主要目的是说明？

APython 是唯一适合初学者的语言

B如何编写大型商业软件

C计算机只能执行 Python 程序

D程序设计语言让人在更高抽象层次上表达算法，其变量类型正对应本章的数据表示

本节要点：语言的抽象（布尔、字符串、整数、浮点）正建立在 1.1–1.7 节的位模式表示之上。

1.9

1.9 数据压缩 · DATA COMPRESSION

无损保真，有损换空间

本节小结四种通用技术：行程长度编码（值 + 次数）、频率依赖编码（高频项用短码，如哈夫曼编码）、相对编码（只记与前一项的差）、字典编码（LZW 边编码边扩充字典）。GIF：256 色调色板 + LZW；JPEG：利用人眼对亮度比对颜色更敏感，可压缩 10~30 倍；MP3：利用人耳的时域/频域掩蔽；MPEG：只整帧编码少数 I 帧，帧间记差别。无损（lossless）可完整还原，有损（lossy）只能还原近似值。

LZW 字典编码示例

消息 xyx xyx xyx xyx，初始字典仅 x、y、空格。编码过程中把新遇到的“单词”加入字典：

xyx xyx xyx xyx　→　121 3 4 3 4 3 4

解码时从同一个三条目小字典出发，同样能边解码边重建字典——无需随消息传送大字典。

媒体标准速览

标准	利用的“弱点”	典型表现
GIF	调色板仅 256 色	简单动画、透明背景；不适合摄影
JPEG	人眼对亮度比对颜色敏感	色度 2×2 平均 + 8×8 离散余弦变换，压缩 10~30 倍
MP3	人耳时域/频域掩蔽	删去听不到的细节，接近 CD 音质，≤ 64 Kbit/s
MPEG	相邻视频帧高度相似	I 帧整帧编码，帧间只记差别，约 40 Mbit/s

压缩的真正动机往往不只是省空间——视频会议若每帧需 1 MB 而链路每秒只能传 1 KB，再好的画质也无济于事；音视频压缩首先是为了及时传输。

常见速率单位：Kbit/s（千位每秒）、Mbit/s（兆位每秒）、Gbit/s（吉位每秒）。1 GB 约可存 400 首 MP3 流行歌曲。

压缩的本质：利用数据内部的冗余，以及人类感官的局限。

§1.9课堂练习

Q17JPEG 基线标准能获得高压缩率，主要利用了人眼的什么特性？

A人眼无法分辨超过 256 种颜色

B人眼对快速运动的物体不敏感

C人眼对亮度的变化比对颜色的变化更敏感

D人眼会自动脑补缺失的像素

JPEG 先对 2×2 像素块的色度求平均（砍掉 3/4 色度信息而保留全部亮度），再做 8×8 离散余弦变换——画质几乎无损。

Q18MP3 音频压缩利用的人耳特性是？

A人耳听不到 44 100 Hz 以上的声音

B时域掩蔽与频域掩蔽——巨大声响后或相近频率的轻柔声音人耳觉察不到

C人耳对立体声不敏感

D人耳只能分辨 3 字节长的音符

MP3 删去那些被“掩蔽”的细节，获得显著压缩而保持接近 CD 的音质。

1.10

1.10 通信差错 · COMMUNICATION ERRORS

先能“发现错”，再能“改对错”

本节小结 奇偶校验位（parity bit）：附加 1 位使每个模式恒含奇数（奇校验）或偶数（偶校验）个 1，可检测奇数个差错，但检不出偶数个；扩展为校验字节、校验和（checksum）与 CRC。纠错码利用汉明距离（Hamming distance，两模式不同位的个数）：教材示例编码任意两合法模式距离 ≥ 3，故每个模式最多检 2 错、纠 1 错——设备可靠不靠“永不出错”，而靠“出错能被发现甚至纠正”。

例：纠错码如何“改错”

符号	编码	与 010100 的距离
A	000000	2
B	001111	3
C	010011	2
D	011100	1 ← 最近

收到 010100：它与合法模式 D 的汉明距离为 1，与其他任何合法模式至少为 2，故判定传输的字符是 D——差错被自动纠正。

若编码的最小汉明距离提高到 5，则可检 4 错、纠 2 错。设计这类编码属于代数编码理论（线性代数与矩阵理论的分支）。

理查德·汉明（R. W. Hamming）——因不满 20 世纪 40 年代继电器机器的不可靠而开创纠错码研究（Wikipedia）

应用实例：CD-DA 音频格式的纠错能力为“两张 CD 只出一个错”；交付软件的 CD 加强纠错至“20 000 张盘出一个错”。

奇偶校验回答“错了吗？”，纠错码回答“原来是什么？”

§1.10课堂练习

Q19下列字节按奇校验编码（含校验位），哪一个一定有错？

A000000000

B100000001

C100101101

D111000000

奇校验要求每个模式含奇数个 1。A 有 0 个 1（偶数），必出错；B、C 有 3 个，D 有 3 个，均合法（但偶数个差错仍可能漏检）。

Q20某纠错码中任意两个合法模式的汉明距离至少为 3，则每个模式最多可以？

A检测 3 个差错、纠正 3 个差错

B检测 1 个差错、纠正 1 个差错

C检测 3 个差错、纠正 2 个差错

D检测 2 个差错、纠正 1 个差错

改 1 位必成非法模式（可检）；改 1~2 位也不会变成另一合法模式（可检 2 错）；距原模式 1、距其他合法模式 ≥ 2，故能纠 1 错。

参考答案（共 20 题，点击展开）

题号	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6	Q7	Q8	Q9	Q10
答案	B	C	B	A	D	C	A	D	B	C
题号	Q11	Q12	Q13	Q14	Q15	Q16	Q17	Q18	Q19	Q20
答案	D	B	C	A	B	D	C	B	A	D